Wkodk

Sådan plotte Mandelbrot sættet med hånden

Mandelbrotmængden består af plottede punkter på en kompleks plan for at danne en fraktal: en slående form eller form, hvor hver del er faktisk en miniature kopi af helheden. Den utroligt blændende billedsprog skjult i Mandelbrot Set var muligt at se i 1500-tallet takket være Rafael Bombelli forståelse af imaginære tal - men det var ikke før Benoit Mandelbrot og andre begyndte at udforske fraktaler ved hjælp af at den hemmelige universet blev afsløret.


Nu, hvor vi kender den eksisterer, kan vi nærme det på en mere primitiv måde: med hånden. Her er en metode til visning af en rå gengivelse af sættet, bare for at forstå, hvordan det gøres, og du vil derefter få en langt dybere forståelse for de gengivelser, som du kan gøre ved hjælp af de mange computer-programmer til rådighed, eller at du kan få vist på og.

Steps

Sådan plotte Mandelbrot sættet med hånden. Label (også i sort) den midterste kvadrat (0, 0).
Sådan plotte Mandelbrot sættet med hånden. Label (også i sort) den midterste kvadrat (0, 0).
  1. 1
    Forstå grundlæggende formel, ofte udtrykt som z = z 2 + c. Det betyder blot, at for hvert punkt i Mandelbrot univers vi ønsker at se, holder vi beregne z indtil en af to forhold forekommer, så vil vi farve det at vise, hvor mange beregninger, vi gjort. Må ikke bekymre dig! Dette vil blive klart i de følgende trin.
  2. 2
    Få 3 forskelligt farvede eller farveblyanter, eller filt-tippet markører, plus en sort eller for at gøre dispositionen. Grunden til at vi ønsker, tre farver er, fordi vi vil gøre en første tilnærmelse med ikke mere end 3 iterationer (passerer, eller med andre ord, at anvende formlen op til 3 gange pr point):
  3. 3
    Med den sorte markør, tegne et stort tic-tac-toe bord, 3 af 3 pladser, på et stykke papir.
  4. 4
    Label (også i sort) den midterste kvadrat (0, 0). Dette er den konstant (c) værdien af det punkt i det nøjagtige centrum af pladsen. Lad os nu sige hver firkant er 2 enheder bred, så tilføje og / eller trække 2 til / fra x-og y-værdier for hver firkant, med x er det første nummer og y er det andet tal. Når dette er gjort, vil det se ud, hvad du ser vises her. Når du følger de celler på tværs, skal y-værdier (det andet tal) være det samme, når du følger de cellerne ned, bør x-værdier (det første tal) være det samme.
  5. 5
    Beregn det første gennemløb eller iteration af formlen. Du, som computeren (faktisk, den oprindelige betydning af ordet var "en person, der beregner"), kan gøre dette selv. Lad os starte med disse antagelser:
    • Udgangs z-værdi af hver firkant er (0, 0). Når den absolutte værdi af z for et givet punkt, er større end eller lig med 2, er det punkt (og dens tilsvarende firkant) siges at have undsluppet Mandelbrotmængden. Når det sker, vil du farve pladsen i forhold til antallet af gentagelser af den formel, du har anvendt til dette punkt.
    • Vælg de farver, du vil bruge til pass 1, pass 2, og videregive 3.. Lad os antage rød, grøn og blå, henholdsvis for anvendelsen af ​​denne artikel.
    • Beregne værdien af ​​z for det øverste venstre hjørne af tic-tac-toe bord, under forudsætning af en start z-værdi på 0 +0 I eller (0, 0) (se Tips til en bedre forståelse af disse repræsentationer). Vi bruger formlen z = z 2 + c som skitseret i det første skridt. Du vil hurtigt se, at i dette tilfælde, z 2 + c er simpelthen c z 2 + c>, da nul squared er stadig nul. Og hvad er c for denne firkant? (-2, 2).
    • Bestem den absolutte værdi af dette punkt, den absolutte værdi af et komplekst tal (a, b), er kvadratroden af en 2 + b 2. Nu, da vi vil sammenligne dette til en kendt værdi: 2 kan vi undgå at tage kvadratrødder ved at sammenligne en 2 + b februar 2-02, som vi kender lig 4.. I denne beregning, en = -2 og b = 2.
      • ([-2] 2 + 2 2) =
      • (4 + 4) =
      • 8, som er større end 4..
    • Det har undgået Mandelbrotmængden efter den første beregning, da dens absolutte værdi er større end 2. Farve det med det, du har valgt for pass 1.
    • Gør det samme for hver firkant på brættet, med undtagelse af center pladsen, som ikke vil undslippe Mandelbrotmængden den 3. pass (det vil heller aldrig undslippe). Så du har kun brugt to farver: passet 1 farve til alle de ydre pladser og passet 3 farve for den midterste firkant.
  6. 6
    Lad os prøve en firkantet 3 gange større, 9 med 9, men stadig holde et maksimum på 3 iterationer.
  7. 7
    Start med den 3. række ned, fordi det er her, det bliver interessant højre væk.
    • Det første element, (-2, 1) er større end 2 (fordi (-2) 2 + 1 2 viser sig at være 5) så lad os maling, en rød, da det undslipper Mandelbrotmængden på den første pass.
    • Det andet element, (-1.5 1) viser sig ikke at være større end 2. Anvendelse af formlen for absolut værdi x 2 + y 2, hvor x = -1.5 og y = 1:
      • (-1,5) 2 = 2,25
      • 1 2 = 1
      • 2.25 + 1 = 3.25, mindre end 4, så kvadratroden er mindre end 2.
    • Så vi videre til vores anden pass, beregne z 2 + c ved hjælp af genvejen (x 2-y 2, 2xy) for z 2 (se Tip til, hvordan denne genvej er afledt), stadig med med x = -1.5 og y = 1:
      • (-1.5) 02-01 FEBRUAR bliver 2,25-1, som bliver 1,25;
      • 2xy, eftersom x er -1.5 og y er 1, bliver 2 (-1.5), hvilket giver -3.0;
      • Det giver os az 2 (1,25, -3)
      • Nu tilføje AC for denne celle (tilføj x til x, y til y), hvilket gav (-0.25, -2)
    • Lad os teste om dens absolutte værdi er nu større end 2:. Beregn x 2 + y 2:
      • (-.25) 2 = 0,0625
      • -2 2 = 4
      • 0,0625 + 4 = 4,0625, kvadratroden af, som er større end 2, og dermed har det undsluppet efter den anden iteration: vores første green!
      • Efterhånden som du bliver fortrolig med beregningerne, vil du nogle gange kunne fortælle hvilke undslippe Mandelbrotmængden bare ved et blik på tallene. I dette eksempel har y-komponenten en størrelsesorden på 2, som når kvadreret og tilsat til den kvadrerede værdi af det andet nummer, vil være større end 4.. Ethvert tal større end 4, vil have en kvadratrod større end 2. Se nedenstående tip for en mere detaljeret forklaring.
    • Det tredje element, med AC værdi (-1, 1) ikke undslippe den første pass: da både 1 og -1, hvor squared er 1, x 2 + y 2 er 2.. Så vi beregner z 2 + c, ved hjælp af genvejen (x 2-y 2, 2xy) for z 2:
      • (-1) 2 -1 2 bliver 1-1, hvilket er 0;
      • 2xy er da 2 (-1) = -2;
      • z 2 = (0, -2)
      • tilføjer c får vi (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
    • Det er stadig den samme absolutte værdi som før (kvadratroden af ​​to, omkring 1,41), at fortsætte med en tredje iteration:
      • ([-1] 2) - ([-1] 2) bliver 1-1, hvilket er 0 (igen)...
      • men nu 2xy er 2 (-1) (-1), som er positiv 2, hvilket gav AZ 2 værdi (0, 2)
      • tilsætning c vi får (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), som har en a 2 + b 2 af 10, langt større end 4..
    • Således også denne undslipper. Color cellen ind med din tredje farve, blå, og gå videre til den næste, da vi har fuldført tre iterationer med dette punkt.
      • Den kendsgerning, at vi bruger kun tre farver bliver klart som et problem her, idet noget, der undslipper efter kun 3 iterationer er farvet på samme måde som (0, 0), der aldrig undslipper, vi naturligvis vil stadig ikke se noget tæt på Mandelbrot "bug" på dette niveau af detaljer.
  8. 8
    Fortsætte beregningen hver celle, indtil den er undsluppet, eller du har nået det maksimale antal gentagelser (antallet af farver, du bruger: 3 i dette eksempel), hvorefter du farve det. Her er hvordan de 9 med 9 matrix ser efter 3 gentagelser på hver firkant... Ser ud til vi er på noget!
  9. 9
    Gentage den samme matrix igen med flere farver (iterationer) for at afsløre de næste par lag, eller bedre, udarbejde en meget større matrix for en mere langsigtet projekt! Du får mere præcise billeder ved:
    • Forøgelse af antallet af celler, hvilket har 81 celler pr side. Bemærk ligheden med de 9 med 9 matrix ovenfor, men de langt glattere kanter på cirklen og oval.
    • Forøgelse af antallet af farver (iterationer), denne har 256 nuancer for rød, grøn og blå for i alt 768 farver i forhold til 3.. Bemærk, at du nu kan se omridset af den kendte Mandelbrot "søen" (eller "bug", afhængigt af hvordan man ser på det). Ulempen er den mængde tid, det tager, hvis du kan beregne hver iteration på 10 sekunder, det er ca 2 timer for hver celle i, eller tæt på, Mandelbrot søen. Selvom det er en relativt lille del af de 81 med 81 matrix, ville det stadig sandsynligvis tage et år at gennemføre det, selvom du har arbejdet på det i flere timer hver dag. Dette er, hvor silicium type computer kommer i handy.

Tips

  • Hvorfor z 2 = (x 2-y 2, 2xy)?
    • Til to komplekse numre som (a, b) med (c, d), efter følgende formel bruger, forklarede i denne MathWorld artikel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
    • Husk, at et komplekst tal har en "rigtig" og en "imaginær" del, hvor sidstnævnte er et reelt tal ganget med kvadratroden af negativ 1, der ofte omtales som jeg. Det komplekse tal (0, 0), for eksempel, er 0 0 i, og (-1, -1) er (-1) + (-1 * i).
    • Stadig med os? Husk at a og c a> udtryk er reelle, og b og d b> vilkår er imaginær. Så når den imaginære udtryk multipliceres sammen, kvadratroden af negative 1 ganget med sig selv giver negativ 1, bevirke, at resultatet og gøre det rigtige, der henviser til de numre, annonce-og bc annonce> forblive imaginære, da kvadratroden af negative 1 er stadig en løbetid på disse produkter. Derfor har vi ac - bd som den reelle del og bc + ad som den imaginære del.
    • Nu, da vi kvadratur tallene i stedet for at multiplicere to forskellige numre, kan dette blive forenklet lidt, da a = c og b = d, vi har produktet som (a 2-b 2, 2ab). Og da vi kortlægge "komplekse plan" til "kartesianske plane", med x-aksen repræsenterer "rigtige" og y x> akse, der repræsenterer "imaginære" vil vi også henvise til dette som (x 2-y 2, 2xy) (x 2-y 2.
  • Ønsker du at vide mere om at dømme den absolutte værdi af et komplekst tal uden arbejdende gennem beregninger?
    • Den absolutte værdi af et komplekst tal (a, b), er kvadratroden af en 2 + b 2, den samme som formlen for en retvinklet trekant, idet a og b a> er repræsenteret vinkelret på hinanden på den kartesiske grid (x-og y-koordinater, henholdsvis). Derfor, eftersom vi ved, at Mandelbrot sættet er afgrænset af værdien af 2 og kvadratet af 2 er 4, kan vi omgå at skulle tænke på kvadratrødder blot ved at se hvis x 2 + y 2> = 4.
    • Hvis en del af en ret trekant har længde> = 2, så hypotenusen (diagonal side) skal også være længere end 2.. Hvis du ikke kan se, hvorfor dette er tilfældet, plotte nogle retvinklede trekanter på en kartesiansk gitter og det vil blive indlysende, eller bare tænke på det på denne måde: 2 2 = 4, og tilføje en anden positiv nummer til at (og kvadrering en negativt tal altid resulterer i en positiv), kan ikke resultere i noget mindre end 4. Derfor, hvis enten x eller y-komponenten af ​​et komplekst tal har en størrelse på 2 eller højere, den absolutte værdi af dette nummer er større end eller lig med 2, og har undgået Mandelbrot sættet.
  • At beregne den "virtuelle bredden" af hver celle, dividere den "virtuelle diameter" i "antal celler minus én". Vi bruger en virtuel diameter på 4 i ovenstående eksempler, da vi ønsker at vise alt inden for en radius af 2 (Mandelbrot sættet er afgrænset af værdien af ​​2). For 3-sidet tilnærmelse, thats 4 / (3 - 1), der er 4/2, hvilket svarer 2.. For 9-sidet firkant, er det 4 / (9-1). 2>, som er 4/8, hvilket svarer 0.5. Brug den samme virtuelle cellestørrelse både i højden og bredden, selvom du laver en side længere end den anden, ellers sættet vil være forvrænget.
  • Hvis du beregne en celle igen og igen, og læg mærke til et resultat, der er nøjagtig det samme som en, du allerede fik for denne celle, du ved, du er fanget i en endeløs løkke, denne celle vil aldrig undslippe! Så du kan tage en genvej, farve, celle med din endelige farve, og springe til den næste. (0, 0) er naturligvis en af ​​disse celler.

Advarsler

  • Matematik kan blive meget vanedannende, ligesom alt andet, men det vil sandsynligvis ikke skade din lever eller forårsage lungekræft.