Wkodk

Hvordan man løser differentialligninger

En fuld kursus i differentialligninger involverer anvendelser af derivater, der skal undersøges efter to eller tre semester kurser i calculus. Et derivat er graden af ændring af en mængde med hensyn til en anden, for eksempel, hvor satsen et objekts ændringer med hensyn til tid (sammenlignet med hældning). Sådanne satser for forandring dukke op hyppigt i hverdagen. For eksempel er loven, hedder det, at hastigheden af interesse akkumulation er proportional med grundbeløbet for penge, givet af dy / dt = ky, hvor y er den sum penge at tjene renters rente t er tiden, og k er en konstant ( dt er en øjeblikkelig tidsinterval). Selv typisk er kreditkort rentesrenter dagligt og rapporteres som ÅOP, årlige omkostninger i procent - endnu en differentialligning kan løses for at give den øjeblikkelige løsning y = ce ^ (kt), hvor c er en arbitrær konstant (den angivne rente). Denne artikel vil vise dig, hvordan du løser typer differentialligninger almindeligt forekommende, især i mekanik og.

  • 1 trin
    • 1.1 Grundlæggende
    • 1.2 Løsning Første ordens differentialligninger
    • 1.3 Løsning anden ordens differentialligninger
    • 1.4 Løsning Højere ordens differentialligninger
  • 2 Real Life Applications
  • 3 tips
  • 4 Advarsler
  • 5 ting du har brug for
  • 6 Relaterede Googles
  • 7 Kilder og citationer

Steps

Hvordan man løser differentialligninger. Kend rækkefølgen og graden af differentialligningen.
Hvordan man løser differentialligninger. Kend rækkefølgen og graden af differentialligningen.

Det grundlæggende

  1. 1
    Definer afledte. Derivat (også kaldet differentialkvotienten, især britisk) - grænsen for forholdet af tilvæksten af en funktion (almindeligvis y) til forøgelse af en variabel (almindeligvis x) i denne funktion, idet sidstnævnte har en tendens til 0, den øjeblikkelige ændring af en mængde med hensyn til en anden, som hastighed, som er den øjeblikkelige ændring af afstanden med hensyn til tiden. Sammenlign første derivat, og anden afledede:
    • Første afledede - den afledte af en funktion, eksempel: "Velocity er den første afledede af afstanden med hensyn til tid."
    • Anden afledede - den afledede af den afledede af en funktion, eksempel: "Acceleration er den anden afledede af afstanden med hensyn til tid."
  2. 2
    Kend rækkefølgen og graden af differentialligningen. Rækkefølgen af en differentialligning bestemmes af den højeste orden derivat, graden bestemmes ved den højeste effekt på en variabel. For eksempel er differentialligningen vist i figur 1 af anden orden, at tredje grad.
  3. 3
    Kender forskellen mellem en almindelig eller komplet løsning versus en bestemt løsning. En komplet løsning indeholder en række arbitrære konstanter svarende til den rækkefølge ligningen. (For at løse en n th orden differentialligning, er du nødt til at udføre n integrationer, og hver gang du integrerer, er du nødt til at indføre en arbitrær konstant.) For eksempel i den sammensatte rente lov differentialligningen dy / dt = ky er af orden 1, og dens fuldstændige løsning y = ce ^ (kt) har præcis 1 arbitrær konstant. En særlig opløsning opnås ved at tildele bestemte værdier til konstanter i den generelle løsning.



Dette er en længere og mere detaljeret introduktionsvideo på differentialligninger.

Løsning første ordens differentialligninger

En differentialligning af første orden og første grad kan udtrykkes som M dx + N dy = 0, hvor M og N er funktioner af x og y. For at løse dette differentialligning, fortsæt således:

  1. 1
    Kontroller at se, om de variabler kan adskilles. Variabel kan adskilles hvis differentialligningen kan udtrykkes som f (x) dx + g (y) dy = 0, hvor f (x) er en funktion af x alene, og g (y) er en funktion af y alene. Disse er de letteste differentialligninger at løse. De kan integreres for at give ∫ f (x) dx + ∫ g (y) dy = c, hvor c er en arbitrær konstant. Her er en generel tilgang. Se figur 2 for eksempel.
    • Klare fraktioner. Hvis ligningen involverer derivater formere igennem af forskellen i den uafhængige variabel.
    • Saml alle udtryk indeholder det samme forskellen i en enkelt periode.
    • Integrer hver del separat.
    • Forenkle udtrykket, ved at kombinere udtryk, konvertere logaritmer til eksponenter, og ved hjælp af enkle symbol for arbitrære konstanter, for eksempel.

      Denne video viser, hvordan man løser adskillelige differentialligninger.
  2. 2
    kontrollere, om differentialligningen er homogen tjek> En differentialligning, M dx + N dy = 0, er homogene, hvis udskiftning af x og y af λx og λy resultater i den oprindelige funktion ganget med en vis magt λ, hvor magten af λ kaldes graden af ​​den oprindelige funktion. Hvis det er tilfældet, skal du følge disse trin. Se figur 3 for et eksempel.
    • Lad y = vx, så dy / dx = x (dv / dx) + v.
    • Fra M dx + N dy = 0, har vi dy / dx =-M / N = f (v), idet y er en funktion v.
    • Så f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Nu variablen x og v kan adskilles: dx / x = dv / (f (v)-v)).
    • Løs den nye differentialligning med adskillelige variabel og derefter bruge substitution y = vx at finde y.

      Denne video viser, hvordan man kan løse homogene første ordens differentialligninger.
  3. 3
    Hvis differentialligningen ikke kan løses ved de to foregående metoder, se om du kan udtrykke det som en lineær ligning, i form af dy / dx + py = q, hvor P og Q er funktioner af x alene eller konstanter. Bemærk, at x og y kan anvendes i flæng her. Hvis ja, fortsæt som følger. Se figur 4 for et eksempel.
    • Lad y = uv, hvor u og v er funktioner af x.
    • Differentiering, for at få dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).
    • Substitution i dy / dx + Py = Q, for at få u (dv / dx) + v (du / dx) + PUV = Q eller u (dv / dx) + (du / dx + Pu) v = Q.
    • Bestem u ved at integrere du / dx + Pu = 0, hvor de variable kan adskilles. Brug derefter værdien af ​​u opnået at finde v ved at løse u (dv / dx) = Q, hvor, igen, variablerne kan adskilles.
    • Endelig kan du bruge substitution y = uv til at finde y.

      Denne video viser, hvordan man løser første ordens lineære differentialligninger.
  4. 4
    Løsning Bernoulli ligning: dy / dx + p (x) y = q (x) y n som følger:
    • Lad u = y 1-n, så du / dx = (1-n) y-n (dy / dx).
    • Således y = u 1 / (1-n), dy / dx = (du / dx) y n / (1-n), og y n = u n / (1-n).
    • Erstatte disse i Bernoulli ligning, og multiplicere igennem af (1-n) / u 1 / (1-n), hvilket resulterer i
      du / dx + (1-n) p (x) u = (1-n) q (x).
    • Bemærk, at dette er nu en første-ordens lineære ligning i den nye variabel u, og kan løses ved hjælp af teknikken ovenfor (trin 3). Når løst, erstatte tilbage y = u 1 / (1-n) for den fuldstændige løsning.

      Denne video viser, hvordan man løser den Bernoulli differentialligninger.

Løsning andenordens differentialligninger

  1. 1
    Kontroller at se, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 5, hvor f (y) er en funktion af y alene eller en konstant. Hvis det er tilfældet, følger blot trinene i fig. 5.
  2. 2
    Løsning andenordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter: Kontroller, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 6.. Hvis ja, kan differentialligningen løses blot som en andengradsligning, som fremgår af de efterfølgende trin:

    Denne video viser egenskaber af anden orden lineære differentialligninger.


    Denne video viser, hvordan man kan løse det andet ordens lineære differentialligninger.


    Denne sjove video viser også, hvordan man kan løse de andenordens lineære differentialligninger.
  3. 3
    For at løse en mere generel anden orden lineær differentialligning, check for at se, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 7.. Hvis ja, kan differentialligningen løses med følgende trin. Se de efterfølgende trin i figur 7 for et eksempel.
    • Løs ækv. (1) fra figur 6 (hvor f (x) = 0) under anvendelse af fremgangsmåden beskrevet ovenfor. Lad den fuldstændige løsning være y = u. u er den komplementære funktion for ækv. (1) fra figur 7.
    • Finde en bestemt løsning y = v eq (1) fra figur 7 ved trial. Følg disse trin:
      • Hvis f (x) ikke er en særlig opløsning af (1):
        • Hvis f (x) er i form f (x) = a + bx, antager y = v = a + bx;
        • Hvis f (x) er i form f (x) = ae bx, antager y = v = Ae bx;
        • Hvis f (x) er i form f (x) = a 1 cos bx + a 2 synd bx, antager y = v = A 1 cos bx + A 2 sin bx.
      • Hvis f (x) er en særlig løsning til (1), påtage sig for v ovenstående formular ganget med x.
    • Den komplette løsning til (1) er givet ved y = u + v.

      Denne video viser, hvordan man løser et mere generelle andenordens lineære differentialligninger.

Løsning højere ordens differentialligninger

Højere ordens differentialligninger er meget sværere at løse, undtagen visse specielle tilfælde, som følger:

  1. 1
    Kontroller at se, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 5, hvor f (x) er en funktion af x alene eller en konstant. Hvis det er tilfældet, følger blot trinene i figur 8.
  2. 2
    Løsning n th ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter: Kontroller, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 9. Hvis ja, kan differentialligningen løses på følgende måde:
  3. 3
    For at løse en mere generel n th orden lineær differentialligning, check for at se, om differentialligningen opfylder formen vist i ligning (1) i figur 10.. Hvis det er tilfældet, kan differentialligningen løses i en fremgangsmåde analog til den, der anvendes for at løse andenordens lineære differentialligninger, som følger:

Real life applikationer

  1. 1
    Renters rente lovgivning: den rentesats akkumulation er proportional med grundbeløbet for penge. Mere generelt hastigheden af ​​ændring i forhold til en uafhængig variabel er proportional med den tilsvarende værdi for funktionen. Det vil sige, hvis y = f (t), dy / dt = ky. Løsning dette ved hjælp af metoden til adskillelige variabel, får vi y = ce ^ (kt), hvor y er en sum penge akkumulere på renters rente, c er en arbitrær konstant, k er den rente, for eksempel, er interessen i dollar på én dollar for et år, er t tid. Time, derfor er penge.
    • Bemærk, at rentes rente lov gælder for mange områder i hverdagen. For eksempel, du forsøger at udvande en salt løsning ved rindende vand i løsningen at mindske sin saltkoncentration formoder. Hvor meget vand har du brug for at tilføje, og hvordan koncentrationen af ​​opløsningen ændring i forhold til den kurs, du køre vand?
      Lad s = mængde salt i opløsning på noget tidspunkt, x = den mængde vand, der er løbet igennem, og v = volumen af ​​opløsningen. Saltkoncentrationen af ​​blandingen er givet ved s / v. Antag nu en volumen AX er lækket ud af opløsningen, så mængden af ​​salt sivet ud er (r / v) AX, hvorfor ændringen i mængden af ​​salt, Δs, er givet ved Δs = - (s / v) AX. Divider begge sider af AX, at få Δs / AX = - (s / v). Tag grænse AX -> 0, og vi har ds / dx =-s / v, hvilket er en differentialligning i form af forbindelsen rente lov, hvor y er nu s, t er nu x, og k er nu -1 / v.
    • Newtons lov er endnu en variation af renters rente loven. Det anføres, at den tid-at nedgangen i kropstemperaturen overstiger temperaturen af ​​den omgivende luft er proportional med kropstemperatur over den omgivende luft. Lad x = kropstemperatur over den omgivende luft, t = tid, vi har dx / dt = kx, hvor k er en konstant. Løsningen på denne differentialligning er x = ce ^ (kt), hvor c er en arbitrær konstant, som ovenfor. Antag denne overskydende temperatur, x, var først 80 grader, og falder til 70 grader efter et minut. Hvad vil det være efter 2 minutter?
      Lad t = tid i minutter, x = overskydende temperatur i grader, har vi 80 = ce ^ (k * 0) = c. Også 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k, så k = ln (7/8). Så x = 70e ^ (ln (7/8) t) er en særlig løsning på dette problem. Nu plug in t = 2, har vi x = 70E ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 grader efter 2 minutter.
    • I atmosfæriske termodynamik, atmosfærisk tryk p over havoverfladen ændringer i forhold til højden h over havets overflade -. endnu en variation af renters rente loven Differentialligningen her er dp / dh = kh, hvor k er konstant.
    • I, hastigheden af en kemisk reaktion, hvor x er den mængde omdannet i tiden t er den tid-ændringshastigheden af x. Lad en = koncentration ved begyndelsen af ​​reaktionen, så dx / dt = k (ax), hvor k er den hastighed konstant. Dette er en anden variation af renters rente loven hvor (ax) er nu den afhængige variabel. Se, at d (ax) / dt =-k (ax), så d (ax) / (ax) =-kdt. Integrere, at få ln (ax) =-kt + a, da ax = en til tiden t = 0. Omorganisering, ser vi, at hastigheden konstant k = (1 / t) ln (a / (ax)).
    • I elektromagnetisme, en med spænding V og strømmen I (ampere) gives, er spændingen V forbruges i at overvinde modstanden R (ohm) af kredsløbet, og induktansen L, som den udspringer af ligningen V = iR + L (di / dt ), eller di / dt = (V - iR) / L. Dette er en anden variation af renters rente loven, hvor V - iR er nu afhængige variabel.
  2. 2
    I akustik er simple harmoniske vibrationer acceleration er direkte proportional med den negative af afstanden. Minde om, at accelerationen er den anden afledede af afstand, så d 2 s / dt 2 + k 2 s = 0, hvor s = afstand, t = tid, og k 2 er størrelsen af accelerationen på enhed afstand. Dette er den simple harmoniske ligning, en anden ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter, som løses i figur 6, ligningerne (9) og (10). Løsningen er s = c 1 cos kt + c 2 sin kt.
    Dette kan forenkles yderligere ved at indstille c 1 = b sin A, C 2 = b cos A. Stedfortræder disse i, for at få b synd A cos kt + b cos A sin kt. Recall fra trigonometri, at synd (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, så udtrykket reducerer til s = b sin (kt + A). Den bølgeform adlyde simple harmoniske ligning svinger mellem b og-b, med periode 2π / k..
    • Vibrerende spring: tage et objekt med massen m, på en vibrerende forår. Af Hookes lov, når fjederen strækkes eller komprimerede s enheder fra sin naturlige længde (eller ligevægt position) den udøver en genoprettende kraft F proportional med s eller F = - k 2 s. Af Newtons anden lov (kraft lig masse gange acceleration), har vi md 2 s / dt 2 = - k 2 s eller MD 2 s / dt 2 + k 2 s = 0, hvilket er et udtryk for den simple harmoniske ligning.
    • Dæmpede svingninger: overveje vibrerende forår som ovenfor, med en dæmpningskraft. En dæmpningskraft er nogen virkning, såsom friktion, der har tendens til at reducere amplituden af ​​svingninger i en oscillator. For eksempel kunne en dæmpningskraft leveres af en støddæmper i en bil. I de fleste tilfælde er dæmpningskraften, F d, omtrent proportional med hastigheden af objektet, eller F d = - c 2 ds / dt, hvor c 2 er en konstant. Kombinere dæmpningskraft med affjedring, vi har - k 2 s - c 2 ds / dt = md 2 s / dt 2 ved Newtons anden lov. Eller, md 2 s / dt 2 + c 2 ds / dt + k 2 s = 0. Denne differentialligning er en anden ordens lineære ligning, der kan løses ved at løse den ekstra ligning mr 2 + c 2 R + k 2 = 0, efter at substituere s = e ^ (rt).
      Løsning dette ved den kvadratiske formel, vi får r 1 = (- c 2 + sqrt (c 4-4 mk 2)) / 2 m; R2 = (- c 2 - sqrt (c 4-4 mk 2)) / 2 meter.
      • Overdamping: Hvis c 4 - 4mk 2> 0, r 1 og r 2 er reelle og tydelige. Løsningen er s = c 1 e ^ (r 1 t) + c 2 e ^ (r 2 t). Siden C 2 m og k 2 er alle positive, sqrt (c 4 - 4mk 2) skal være mindre end c 2, hvilket betyder, at begge rødder, R 1 og R 2, er negative, og funktionen er i eksponentiel henfald. I dette tilfælde har svingning ikke forekomme. En stærk dæmpning, for eksempel, kan leveres ved høj viskositet olie eller fedt.
      • Kritisk dæmpning: Hvis c 4 - 4mk 2 = 0, r 1 = r 2 =-c 2 / 2m. Løsningen er s = (c 1 + c 2 t) e ^ ((-c 2 / 2m) t). Dette er stadig eksponentiel henfald, med ingen svingning. Dog vil den mindste nedgang i dæmpning kraft bevirke objektet til at svinge forbi balancepunktet.
      • Underdamping: Hvis c 4 - 4mk 2 <0, rødderne er komplekse, givet ved - c/2m + / ​​- ω i, hvor ω = sqrt (4 mk 2 - c 4)) / 2 meter. Løsningen er s = e ^ (- (C 2 / 2m) t) (c 1 cos ω t + c 2 sin ω t). Dette er en svingning dæmpes med faktoren e ^ (-. (C 2 / 2m) t Da både c 2 og m er positive, e ^ (- (C 2 / 2m) t) vil gå til nul som t nærmer uendelighed. Så i sidste ende bevægelse vil henfalde til nul.

Tips

  • Mange differentialligninger simpelthen ikke kan løses ved de ovennævnte metoder. De ovennævnte metoder, dog tilstrækkeligt til at løse mange vigtige differentialligninger forekommende.
  • Stedfortræder din løsning tilbage i den oprindelige differentialligning, for at se, om ligningen er opfyldt. Dette vil bekræfte, at du har løst differentialligningen korrekt.
  • Bemærk: det modsatte af differentialregning kaldes integralregning, der beskæftiger sig med opsummering af virkningerne af konstant skiftende mængder, for eksempel beregning af afstand (sammenlignet med d = rt) er dækket af en genstand, når dens øjeblikkelige satser (hastigheder) over en tidsinterval er kendt.

Advarsler

  • I modsætning differentiering, hvor derivatet af enhver given ekspression kan beregnes integralet af mange udtryk simpelthen ikke kan beregnes. Så du skal ikke spilde din tid på at forsøge at integrere et udtryk, der ikke kan integreres. Bare sørg for at tjekke en Tabel over integraler at verificere. Løsningen af en differentialligning anses gennemføres, når den er blevet reduceret til et udtryk der involverer integraler, uanset om selve integrationen kan ske eller ej.

Ting du behøver

  • Papir
  • Pen eller blyant
  • En tabel over integraler kan hjælpe med